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基于切比雪夫多项式的数控机床几何误差参数化建模

文章出处:网络整理责任编辑:采集侠 人气: 发表时间:2018-01-14 19:09

  摘要:  为了快速精确地建立机床几何误差项数学模型,提出了一种基于切比雪夫多项式的参数化建模方法。首先针对测量得到的机床基本几何项数据,将机床相应运动轴进给量转化为切比雪夫变量。其次将切比雪夫变量代入不同阶次的切比雪夫多项式得到相应的值。然后根据切比雪夫基函数值和切比雪夫变量用多元线性回归方法获得相应的系数,得到关于切比雪夫基函数的数学模型。最后将运动轴进给量与切比雪夫变量之间的转化关系代入得到基本几何误差项的数学模型。建模过程简单且易程序化,切比雪夫多项式的高逼近精度使得建立的模型精度高。将所有几何误差项参数化模型代入机床几何误差模型综合数学模型,从而可得到机床工作空间几何误差场分布。以MV-5A 三轴立式加工中心为例,将各个几何误差项参数化模型代入机床几何误差模型中得到该机床综合几何误差数学模型,进而得到该机床工作空间几何误差场分布,为机床设计和误差补偿提供了理论依据。

  关键词:  数控机床 几何误差 参数化建模 切比雪夫多项式

  引言

  随着制造业的快速发展以及工件精度要求和复杂度的提高,对机床精度的要求越来越高。机床几何误差和热误差是影响机床加工精度的主要因素,占60%以上[1 - 2]。而几何误差的建模和补偿是提高机床精度的一种重要途径。数控机床几何误差建模大多是基于多体理论建立齐次变换矩阵得到机床几何误差[3 - 6]。同时坐标系之间的微分变换关系和指数积理论也分别被用来进行误差建模和补偿[7 - 9]。根据模型进行补偿的前提是数控机床基本几何误差项数据。三轴数控机床的21 项几何误差可通过激光干涉仪、球杆仪、激光跟踪仪等装置采用相应的测量方法得到。得到的误差项数据是离散数据,反映了机床行程一系列点的误差,这就需要建立机床基本误差项的参数化模型,即建立相应的数学表达式。很多学者采用了不同的方法来建立基本误差项的模型[10 - 11]。Fan 等[12]引入正交多项式回归法根据测量得到的误差数据建立机床主轴热误差模型,又采用正交多项式回归法建立机床几何误差项数学模型[13]。Lee 等根据几何误差项的性质建立了合理的多项式模型,然后进行误差测量辨识得到相应的系数[14]。

  切比雪夫多项式在函数逼近方面比泰勒展开式有更高的精度。切比雪夫多项式已经在数字信号处理、卫星轨道、气象学中得到广泛应用[15]。相比于最小二乘法多项式拟合,随着拟合次数的增加,切比雪夫多项式各部分误差减小,精度增加[16]。本文提出一种基于切比雪夫多项式的机床几何误差项参数化建模方法。首先根据辨识得到的数据,结合几何切比雪夫多项式性质,将机床位移变量进行变换。然后计算得到各个不同次数的切比雪夫多项式基函数的系数,接着代入机床位移变量转换关系展开得到相应的几何误差项参数化模型。将几何误差项参数化模型代入机床综合几何误差模型得到相应数学模型,从而可计算得到机床误差场分布,为机床设计和补偿奠定基础。

  1、 数控机床几何误差建模

  三轴数控机床有21 项几何误差项。因为每个物体在空间上存在6 个自由度,所以每个运动轴存在6 项基本误差项,包括3 项线性误差和3 项转角误差。图1 表示了X 轴的6 项基本误差项。其中δxx、δyx、δzx分别是X、Y、Z 方向的线性误差,εxx、εyx、εzx分别表示绕X、Y、Z 轴的转角误差。同时由于安装制造等原因,各个运动轴之间很难保证绝对的垂直,所以运动轴之间存在垂直度误差。其中X 轴和Y 轴之间的垂直度误差为Sxy,X 轴和Z 轴之间的垂直度误差为Sxz,而Y 轴和Z 轴之间的垂直度误差为Syz。那么三轴数控机床存在18 项几何误差和3 项垂直度误差。

  

基于切比雪夫多项式的数控机床几何误差参数化建模

图1 X 轴6 项基本误差项示意图

  几何误差建模是误差补偿的基础。本文以三轴立式加工中心MV-5A 为例,为XYFZ 型机床。图2 所示为XYFZ 型机床结构简图。该三轴数控机床可视为一个开环运动链,该运动链为工作台—X 轴—Y 轴—床身—Z 轴—刀具。可以采用指数积理论对机床进行几何误差建模,那么机床刀具相对于工作台的位置误差可表示为:

基于切比雪夫多项式的数控机床几何误差参数化建模

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